1，何为二项式定理？

大家还记得初中的完全平方公式和完全立方公式吗？

像这种两个数相加或相减的n次方的展开公式我们统称为二项式定理。

2，二项式展开式

那么，除了二次与三次之外，次数继续增加后，展开式是个什么样呢？

大家还记得初中找规律题中常遇到的杨辉三角形吗？答案就在那里面。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

·

·

·

首先，大家能找出其中的规律吗？

外层都是1，每层比上一层多一个数，中间的数是它肩上两个数的和。

而这每一层的数对应的就是两个数和的n次幂的展开式的每一项的系数。

我们刚才的完全平方公式对应的就是第3行，完全立方公式对应的就是第4行。

可是，如果问你两个数和的9次幂，你不能一直列到第10行吧，我们还是要找出其计算规律的。

而这些数的计算规律就和我们刚讲过去的组合有关。

大家可以发现，两个数的平方展开式3项对应的系数正好是

而两个数的立方展开式4项对应的系数正好是

由此，我们就可以总结出其系数的变化规律了。

再看前后两项次数的变化规律，a的次数从最大的n变小，每次-1，一直变为0；b的次数从最小的0变大，每次+1，一直变为最大n。

综合起来，我们就可以总结出二项式定理展开式的变化规律了：

并且我们也可以总结出其中各项的通项公式了：

3，二项式定理怎么考？

一般，二项式定理考填空题较多，考的就是其展开式的某一项。

考法大致有三种：

（1）普通的两项展开。

例1，若

展开式的常数项为60，则a的数值为？

这样的两项展开，做法就是分次数，把次数分为两个数相加的形式，然后一个给前一项当次数，另一个给后一项当次数，凑出要求的项来。

比如这道例题，需要的是常数项，也就是要让x消失。

所以，要把6分成4+2，其中4给前一项当次数，2给后一项当次数，这样两项相乘正好把x约没了。

再套用二项式定理的通项公式可得，常数项为

因此15a=60，解得a=4。

（2）两两相乘的展开。

例2，求

的展开式的常数项是？

像这种两两相乘的，我们先把次数低的那一边展开，再用次数低的展开的每一项去次数高的内寻找对应项，计算出我们需要的项。

这道题就是用前面的两项分别找出可以出现常数项的项。

前一项要去找它的倒数，也就是后面展开式中把5分成1+4，其中1分给前一项当次数，4分给后一项当次数的那一项。

而2本身就是常数项，所以要找后面展开式只有常数项的时候，也就是后面展开式中把5分成0+5，其中0分给前一项当次数，5分给后一项当次数的那一项。

所以，这道题的结果就是

（3）三项展开。

例3，求

的展开式中的常数项为？

像这样三项展开的，我们先把其中两项结合在一起当一项展开一次，然后再把这两项对应的展开一次，找出其中包含我们需要的结果的结合计算在一起即可。

至于先把哪两项结合在一起，其实都可以计算出最后结果，只是会根据题意有计算起来难易的差别，需要大家通过多做题去领悟。

4，二项式定理的二项式系数之和与各项系数之和的规律：

所谓的二项式系数之和就是指前面组合那部分的总和。

所谓的各项系数之和就是把每一项字母前的总系数相加之和。

其规律为：二项式系数之和就看有几项，有几项就是几的n次幂。

比如，计算ax+by的n次幂，那么其二项式系数之和就是2的n次幂。

计算ax+by+cz的n次幂，那么其二项式系数之和就是3的n次幂。

各项系数之和就是把所有的字母全换成1计算出来的最终结果。

比如：计算ax+by的n次幂，那么其各项系数之和就是a+b的n次幂。

计算ax+by+cz的n次幂，那么其各项系数之和就是a+b+c的n次幂。

5，二项式定理展开式奇偶数项的系数之和的规律：

二项式展开式的所有奇数项系数之和就是把所有字母换成1算出来的数值与把所有字母换成-1算出来的数值之和的一半。

二项式展开式的所有偶数项系数之和就是把所有字母换成1算出来的数值与把所有字母换成-1算出来的数值之差的一半。