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外心的定义及性质(内外心综合问题)

100次浏览     发布时间:2025-01-08 11:31:43    

【模型分析】

1、内心

(1)定义:三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

(2)三角形的内心的性质

①三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心

②三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r  

③S=r(a+b+c)/2(r为内切圆半径)

④在RtABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.

⑤∠BOC = 90°+∠A/2∠BOA=90°+∠C/2 ∠AOC=90°+∠B/2  


2、外心

(1)定义:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

(2)三角形的外心的性质

①三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.  

②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合

OA=OB=OC=R  

⑤∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠ACB,∠COA=2∠CBA  

SABC=abc/4R

【经典例题】

解析:连OI,PI,DI,由△OPH的内心为I,可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-1/2(∠HOP+∠OPH)=135°,并且易证△OPI全等△ODI,得到∠DIO=∠PIO=135°,所以点I在以OD为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过D、I、O三点作⊙O',如图,连O'D,O'O,在优弧AO取点P',连P'D,P'O,可得∠DP'0=180°一135°=45°,得∠D0'0=90°,0'0=3√2.

点评:本题考查的是三角形的内切圆与内心,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键。

本题:考查了三角形的内心、外心、旋转的性质、比例线段等,应用的知识点较多,首先要明确内心是角平分线的交点,三角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等;外心是三边垂直平分线的交点,三角形外接圆的圆心,反之,到三角形三个顶点距离相等的点就是三角形的外心,做好本题要熟练掌握与圆有关的性质和定理。







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